709.现代函数论——这一人智纯然创造中最宏伟的成就。
——C.J.凯瑟
《科学、哲学与艺术演讲集》（纽约，1908年），第16页
近世函数之论，诚人类智巧所铸，最为庄伟之业也。
——C.J.凯瑟
《格致哲学艺术讲录》（纽约，1908年），页十六
710.若让过去的数学家，如阿基米德甚至笛卡尔，审视如今的几何学领域，最先令其震撼的特征必是其非具象性。有整类几何理论不仅无需模型与图解，甚至（看似）完全不依赖空间直觉。这主要源于分析研究工具相较纯几何方法的强大力量。
——爱德华·卡斯纳《几何学当前问题；美国数学会通报》，1905年，第285页
设使阿基米德、笛卡尔之伦，观今世几何之学，必惊其虚玄。盖今世几何诸论，不恃图式，不假直观，超然于形骸之外。此无他，析理之器精于古法，故能臻此妙境也。
——爱德华·卡斯纳《几何时务；美邦算学会刊》，1905年，页二百八十五
711.欧几里得的命题皆独立存在，从不明示与其他命题的联系，亦不阐述证明中的核心思想，更无普适原理可言。而现代方法恰恰相反，最重视贯穿整体的主导思想；相较于单独命题，更倾向于给出能将整组定理统摄于同一视角下的普适原理。整体趋势皆指向一般化。直线被视作完整存在——向两端无限延伸，而欧几里得始终谨慎，只承认有限量。事实上，对无限的处理正是两种方法的另一根本差异：欧几里得回避无限，现代数学则系统性引入无限，因唯有如此方能实现一般化。
——阿瑟·凯莱《大英百科全书》（第9版），“几何学”条目
欧氏之学，命题孤峙，不彰其联；证理之要，秘而不宣；通例大法，概乎未闻。今世之术，则重统摄之思，尚一贯之理，总群言以为宗，而非拘于一辞。其旨归在求其博。今世视直线者，向两端而无极；欧氏则谨守有限之量，未尝越雷池一步。此二者于“无穷”之辨，实古今殊致之枢要也。欧氏避之若浼，今世纳为圭臬，盖非此无以成其广。
——阿瑟·凯莱《大英百科全书》（第九版），“几何”篇
712.这正是现代几何相较古代几何的最大优势之一：通过考虑正负量，可在单一表述中涵盖定理因图形各部分相对位置变化而呈现的多种情形。例如在当代，阿波罗尼奥斯《论定截线》两卷中构成83个定理研究对象的9个主要问题及众多特殊情形，如今仅构成一个可由单一方程解决的问题。
——M.沙勒《几何学史》，第1章，第35节
今世几何胜于古者，其要一焉：以正负之术，赅定理之变。一辞之中，尽包图形异位之诸态。昔阿波罗尼奥斯《论定截线》二卷，以八十三理析九题，旁及众例；今世以一方程解之，归为一题，可谓简易而得要矣。
——M.沙勒《几何史》，首章，三十五节
713.欧几里得始终将直线视为两点间所画线段，且会谨慎说明何时将其延长至线段之外。他从未将直线视为预先作为整体存在的实体。这种谨慎的定义与限制——以排除非感官直接可察的无限——是希腊人在所有活动中的典型特征。这一特征既体现在希腊建筑与哥特建筑的差异中，也体现在希腊宗教与现代宗教的区别里。哥特式大教堂的尖顶与现代几何中无限直线的重要性，皆象征着现代世界的变革。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约，1911年），第119页
欧氏论线，必始于两点，其延也必明言。未尝以线为浑然全体。如此审慎，限定畛域，屏感官未逮之无穷，此希腊人立事之通性也。观乎希腊、哥特之构，古今宗教之异，皆可征焉。哥特教堂之尖顶，今世几何之无线，皆为世道迁变之征也。
——A.N.怀特海《算学启蒙》（纽约，1911年），页百一十九
714.古希腊的几何问题与定理总是涉及确定的、往往相当复杂的图形。如今，这类图形中的点和线可能呈现出许多不同的相对位置，古人会对每一种可能的情况分别加以考虑。相反，当代数学家会让图形相互生成，并习惯于将它们视为可变化的；通过这种方式，他们借助负量和虚量将各种情况尽可能地结合统一。例如，阿波罗尼奥斯在其《论比例截线》两卷中探讨的问题，如今用一种普遍适用的构造方法就能解决；而阿波罗尼奥斯则将其分成八十多种仅因位置不同而变化的情况。正如赫尔曼·汉克尔恰切指出的，古代几何为了表面的简单性，牺牲了原理统一的真正简单性；它以承认几何形式在所有变化和感官可呈现位置中的关系为代价，换来了琐碎的感官可呈现性。
——特奥多尔·赖耶
《古今综合几何；德国数学家协会年报》，第2卷，第346-347页
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